Question

已知圆O：x²+y²=r₁²（r₁＞0）与圆C：（x-a）²+（y-b）²=r₂²（r₂＞0）内切，且两圆的圆心关于直线l：x-y+=0对称．直线l与圆O相交于A、B两点，点M在圆O上，且满足=+
（1）求圆O的半径r₁及圆C的圆心坐标；
（2）求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线l方程与圆O联解，得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系算出AB的中点M的坐标，根据点M在圆O上算出r₁=2，即可得到圆O的半径及圆心坐标；
（2）由两圆内切建立关系式算出r₂=4，再由点到直线的距离公式给垂径定理，即可算出直线l被圆C截得的弦长．
解答：解：（1）由消去y，得
由，解得r₁≥1（*）…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则，
又∵在圆O上，
∴满足（*）式
所以圆O的半径r₁=2，圆心C的坐标为（-，）…（6分）
（2）∵圆O：x²+y²=4与圆内切，
∴，解得r₂=0（舍去）或r₂=4…（12分）
∵圆心C到直线l的距离为
∴直线l被圆C截得的弦长为…（14分）
点评：本题给出两圆相内切，求圆心坐标和圆的半径并求直线l被圆截得的弦长．着重考查了圆与圆的位置关系、圆的方程和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．