Question

已知函数f（x）=e^x-1-m-lnx，其中m∈R．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤-1时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）=0，进而可得m=0，进而分析导函数的符号，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤-1，x∈（0，+∞）时，由e^x≥x+1恒成立和x+1＞lnx恒成立，可得当m≤-1，e^x-1-m＞lnx，进而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-1-m-lnx，
∴f′（x）=e^x-1-m-

1

x

∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f'（1）=0，解得m=0
当m=0时，f（x）=e^x-1-lnx，
f′(x)=ex-1-

1

x

为（0，+∞）上的增函数，
又由于f′（1）=0，
所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，此时f（x）递减；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）递增；
（Ⅱ）当m≤-1时，
当x∈（0，+∞）时，
令g（x）=e^x-（x+1），则g′（x）=e^x-1＞0
故g（x）=e^x-（x+1）在（0，+∞）上为增函数
∴g（x）＞g（0）=0
故e^x＞x+1恒成立；
令h（x）=x+1-lnx，则h′（x）=1-

1

x

，
∵x∈（0，1），h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＞0
故h（x）≥h（1）=2
即x+1＞lnx恒成立，
所以当m≤-1，e^x-1-m≥e^x＞x+1＞lnx
所以，f（x）＞0成立．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数在某点取得极值的条件，熟练掌握导数在求函数定义域，及函数最值时的功能是解答的关键．