Question

已知甲、乙两地的公路线长400千米，用10辆汽车从甲地向乙地运送一批物资，假设汽车以v千米/小时的速度直达乙地，为了某种需要，两汽车间距不得小于(

v

10

)2千米（汽车车身长度不计），则这批物资全部到达乙地的最短时间是

12

小时．

Answer 1

分析：设所需的时间为y小时，首先根据题意，得10辆车的间距和加上400正是汽车行驶的路程，再用这个路程除以速度即可求得所需的时间y的关系式，进而利用均值不等式求得y的最小值，得出需要的最少时间．

解答：解：设这批货物到达目的地的所用时间为y小时
因为不计汽车的身长，所以设汽车为一个点，
可知最前的点与最后的点之间距离最小值为9×(

v

10

)2千米时，时间最快．
则这批物资全部到达乙地的时间y=

9×( v 10 )2+400

v

=

9v

100

+

400

v

≥2

9v 100 • 400 v

=12
当且仅当

9v

100

=

400

v

即v=

200

3

千米/小时，时间y_min=12小时
故答案为：12．

点评：本题函数模型的选择与应用，主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．