Question

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（0，

1

16

），B（2，

1

4

）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设a_n=log₂f（n），n∈N^*，S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（III）在（II）的条件下，若b_n=a_n(

1

2

)n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）因为A和B在函数图象上代入求出a，b即可得到f（x）的解析式；
（II）求得a_n=log₂f（n）=n-4，得到a_n为首项为-3，公差为1的等差数列，则S_n是数列的前n项和，利用等差数列的求和公式得到即可；
（III）在（II）的条件下，若b_n=a_n(

1

2

)n=（n-4）(

1

2

)n，所以得到T_n，求出其一半，利用错位相减法得到即可．

解答：解：（I）∵函数f（x）=a•b^x的图象过点
A（0，

1

16

），B（2，

1

4

）
∴

a•b0= 1 16 a•b2= 1 4

解得：a=

1

16

，b=2，∴f（x）=2^x-4
（II）a_n=log₂^f（n）=

log

2n-4 2

=n-4
∴{a_n}是首项为-3，公差为1的等差数列
∴S_n=-3n+

1

2

n（n-1）=

1

2

n（n-7）；
（III）b_n=a_n(

1

2

)n=（n-4）(

1

2

)n
T_n=-3×

1

2

+（-2）×(

1

2

)2+…+（n-4）×(

1

2

)n①

1

2

Tn=-3×(

1

2

)2+（-2）×(

1

2

)3+…+（n-4）×(

1

2

)n-1②
①-②，得：

1

2

T_n=-3×

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n-4）×(

1

2

)n-1
∴T_n=-2-（n-2）(

1

2

)n．

点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，以及等差数列前n项和公式的运用能力，用错位相减法求数列之和的能力．