Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2n²（n∈N^*），等比数列{b_n}满足：a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3）．
（1）求{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据S_n=2n²（n∈N^*），再写一式，两式相减，可得{a_n}的通项公式；利用数列{b_n}是等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3），即可求得{b_n}的通项公式；
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，利用错位相减法，即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2n²（n∈N^*），∴n=1时，a₁=S₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，a₁=2也满足上式
∴a_n=4n-2
∵数列{b_n}是等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3）．
∴数列{b_n}的公比q=

b2

b1

=

an-an-2

a3-a2

=2
∵b₁=a₁=2
∴b_n=2ⁿ；
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+

3

2

+…+

2n-1

2n-1

①
∴

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

②
①-②可得

1

2

Tn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=3-

2n+1

2n

∴数列{c_n}的前n项和T_n=6-

2n+1

2n-1

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．