Question

已知等差数列{a_n}，a₂=8，前9项和为153．
（Ⅰ）求a₅和a_n；
（Ⅱ）若bn=2an，证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ）若从数列{a_n}中，依次取出第二项，第四项，第八项，…，第2ⁿ项，按原来的顺序组成一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前n项和T_n

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
则S9=

9(a1+a9)

2

=153，
∴

9×2a5

2

=153.
∴a₅=17．
∵

a2=a1+d=8 a5=a1+4d=17.

，∴

a1=5 d=3.

∴a_n=3n+2．
（Ⅱ）

bn+1

bn

=

23(n+1)+2

23n+2

=23=8.
∴数列{b_n}是首项为32，公比为8的等比数列．
（Ⅲ）Tn=a2+a4+a8++a2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3×

2(1-2n)

1-2

+2n
=3•2ⁿ⁺¹+2n-6．