Question

已知函数f（x）=

1

2

(x-

1

x

)-lnx．
（1）求证：f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（2）求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

(n∈N+)．

Answer 1

分析：（1）通过函数的导数，判断导函数的范围≥0，即可证明：f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，证明1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

(n∈N+)．当n=k+1时，利用分析法证明ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

≥ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

，从而证明所要证明的结果．

解答：解：（1）在[1，+∞）上，f′(x)=

1

2

+

1

2x2

-

1

x

=

(x-1)2

2x2

≥0⇒f(x)在[1，+∞）上单调递增．
（2）当n=1时，1＞ln2+

1

4

，不等式成立；
假设当n=k时不等式成立，即有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞ln(k+1)+

k

2(k+1)

则当n=k+1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln(k+1)+

k

2(k+1)

+

1

k+1

=ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

下面整：ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

≥ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

?

1

2

(

k+2

k+1

-

k+1

k+2

)≥ln

k+2

k+1

令x=

k+2

k+1

，则x∈[1，+∞），只需要证明

1

2

(x-

1

x

)≥lnx，
由（1）知f(x)=

1

2

(x-

1

x

)-lnx在区间[1，+∞）上单调递增⇒f(x)≥f(1)=0⇒

1

2

(x-

1

x

)≥lnx
也就是证明了ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

≥ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

即当n=k，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

由此可知，对于一切（n∈N⁺），1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

点评：本题考查导数的应用，数学归纳法的证明步骤以及证明方法，考查计算能力逻辑推理能力．