Question

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．

    （1）求抛物线的方程；

    （2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；

    （3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

Answer 1

依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），

因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．

    （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，

同理，．

    ∵kPA+kPB=0，

∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8

∴．

    即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．

    （3）∵kPAkPB=1，∴·=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0．

    直线AB的方程为，即(y1+y2)y-y1y2=8x．

    将-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得

    (y1+y2)(y+4)=8(x+6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．