题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且原点O到直线
x
a
+
y
b
=1的距离为d=
2
21
7
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M（
3
，0）作直线与椭圆C交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．
（1）∵e=
c
a
=
1
2
，∴a2=4c2=4（a2-b2），即4b2=3a2，（1）（2分）
又∵直线方程为
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay=ab，
∴d=
ab
a2+b2
=
2
21
7
，即7a2b2=12（a2+b2）（2）（4分）
联立（1）（2）解得a2=4，b2=3，∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1．（6分）
（2）由题意，设直线PQ：x=my+
3
，
代入椭圆C：3x2+4y2=12，化简，得(3m2+4)y2+6
3
my-3=0，
△=(6
3
m)2+12(3m2+4)=48(3m2+1)＞0，则△OPQ的面积为
S=
1
2
|OM||y1-y2|=
3
2
×
△
3m2+4
=
6
3m2+1
3m2+4
，（9分）
∴S=
6
3m2+1
(3m2+1)+3
≤
6
3m2+1
2
3(3m2+1)
=
3
，
所以，当3m2+1=3，m2=
2
3
时，△OPQ面积的最大值为
3
．（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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