Question

已知函数f（x）=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．
（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

Answer 1

（1）由已知可得f′（x）=2a+

2

x3

，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）＞0，即a＞-

1

x3

，x∈（0，1]．∴a＞-1．
当a=-1时，f′（x）=-2+

2

x3

对x∈（0，1）也有f′（x）＞0，
满足f（x）在（0，1]上为增函数，∴a≥-1．
（2）由（1）知，当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，
∴[f（x）]_max=f（1）=2a-1．
当a＜-1时，令f′（x）=0得x=

1

3 -a

，
∵0＜

1

3 -a

＜1，∴0＜x＜

1

3 -a

时，
f′（x）＞0；

1

3 -a

＜x≤1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，

1

3 -a

）上是增函数，
在（

1

3 -a

，1]减函数．
∴[f（x）]_max=f（

1

3 -a

）=-3

3	a2

．