Question

设函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8,其中a∈R.

(1)若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；

(2)若f(x)在（-∞,0）上为增函数，求a的取值范围。

Answer 1

解析：（1）f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).

因f(x)在x=3取得极值，所以f′(3)=6（3-a）(3-1)=0.解得a=3.

经检验知，当a=3时，x=3为f(x)的极值点.

（2）令f′(x)=6（x-a）(x-1)=0得?x₁=a,x₂=1.

当a＜1时，若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)＞0,所以f(x)在（-∞,a）和?（1，+∞）上为增函数，故当0≤a＜1时，f(x)在（-∞,0）上为增函数.

当a≥1时，若x∈(-∞,1)∪（a,+∞），则f′(x)＞0，所以f(x)在（-∞,1）和（a,?+∞）上为增函数，从而f(x)在（-∞,0）上也为增函数.

综上所述，当a∈［0,+∞）时，f(x)在（-∞,0）上为增函数.