Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+sin（

π

2

-2x）．求：
（1）f（

π

4

）的值；
（2）f（x）的最小正周期和最小值；
（3）f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：将函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）将x=

π

4

代入f（x）中计算，即可求出值；
（2）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的值域确定出f（x）的最小值即可；
（3）由正弦函数的单调递增区间为[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+sin（

π

2

-2x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）f（

π

4

）=

2

sin（2×

π

4

+

π

4

）=

2

×

2

2

=1；
（2）∵ω=2，∴T=π，
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴f（x）的最小值为-

2

；
（3）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z），
则函数的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．