Question

【题目】已知数集（，）具有性质：对任意的、（），与两数中至少有一个属于.

（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（2）证明：，且；

（3）证明：当时，、、、、成等比数列.

Answer 1

【答案】（1）数集具有性质P，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由定义直接判断（2）由已知得anan与中至少有一个属于A，从而得到a1＝1；再由1＝a1＜a2＜…＜an，得到akanA（k＝2，3，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），由此能证明a1＝1，且an（3）当n＝5时，，从而a3a4∈A，∈A，由此能证明，故成等比数列．

（1）由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，

所以数集{1，3，4}不具有性质P．

由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，

所以数集{1，2，3，6}具有性质P．

（2）证明：

因为A＝{a1，a2，…，an}具有性质P，

所以anan与中至少有一个属于A．

由于1≤a1＜a2＜…＜an，所以anan＞an，故ananA，

从而1∈A，故a1＝1；

因为1＝a1＜a2＜…＜an，所以akan＞an，故akanA（k＝2，span>3，…，n）．

由A具有性质P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），

又因为，

所以a1，，…，，，

从而a1+a2+…+an﹣1+an，

故a1＝1，且an．

（3）证明：

由（2）知，当n＝5时，有a2，，即，

因为1＝a1＜a2＜…＜a5，

所以a3a4＞a2a4＝a5，故a3a4∈A，

由A具有性质P，可知∈A，

由，得∈A，且1a3，

所以a2，

故，

所以，

故、、、、成等比数列.