Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，且a_n+1，a_n，3成等差数列，（其中n∈N^*）．
（1）求a₁-3，a₂-3，a₃-3的值；
（2）求证：数列{a_n-3}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式并求其前n项的和．

Answer 1

分析：（1）由题意可得2a_n=a_n+1+3，可得a₂=5，a₃=7，进而可得其值；
（2）由（1）变形可得

an+1-3

an-3

=2，可得结论；
（3）由（2）可知a_n-3的通项，进而可得a_n=2^n-1+3，分别由等差，等比的求和公式可得．

解答：解：（1）由题意可得2a_n=a_n+1+3，
故可得a₂=5，a₃=7，
故a₁-3=1，a₂-3=2，a₃-3=4；
（2）由（1）可得2a_n=a_n+1+3，
可得2a_n-6=a_n+1-3，即2（a_n-3）=a_n+1-3，
故可得

an+1-3

an-3

=2，
故数列{a_n-3}是q=2为公比的等比数列；
（3）由（2）可知a_n-3=（a₁-3）q^n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+3，
∴S_n=（1+3）+（2+3）+（4+3）+…+（2^n-1+3）
=3n+（1+2+4+…+2^n-1）=3n+

1•(1-2n)

1-2

=3n+2ⁿ-1

点评：本题考查等比数列的判定和性质，涉及数列的求和，求到通项公式是解决问题的关键，属中档题．