Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ） （|φ|＜

π

2

），且f（

5π

6

）=-1，
（1）求φ的值；
（2）若f（α）=

3

5

，f（β+

π

12

）=

5

13

，且

π

6

＜α＜

π

3

，0＜β＜

π

4

，求cos（2α+2β-

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）由条件可得2×

5π

6

+φ=2kπ+

3π

2

，k∈Z；再由|φ|＜

π

2

，求得φ的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-

π

6

），2α-

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），2β∈（0，

π

2

），求得sin（2α-

π

6

）=

3

5

，cos（2α-

π

6

）=

4

5

，sin2β=

5

13

，cos2β=

12

13

，再利用两角和的余弦公式求得cos（2α+2β-

π

6

）的值．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x+φ），且f（

5π

6

）=-1，∴2×

5π

6

+φ=2kπ+

3π

2

，k∈Z；
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=-

π

6

．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x-

π

6

），
∵且

π

6

＜α＜

π

3

，0＜β＜

π

4

，∴2α-

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），2β∈（0，

π

2

），
f（α）=

3

5

，f（β+

π

12

）=

5

13

，∴sin（2α-

π

6

）=

3

5

，
cos（2α-

π

6

）=

4

5

，sin2β=

5

13

，cos2β=

12

13

，
可得cos（2α+2β-

π

6

）=cos（2α-

π

6

+2β）=cos（2α-

π

6

）cos2β-sin（2α-

π

6

）sin2β=

33

65

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．