Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）法1：由f（x）=0，
得sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

=cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=0，
由cos

x

2

=0，得

x

2

=kπ+

π

2

，
∴x=2kπ+π（k∈Z）；
由sin

x

2

+

3

cos

x

2

=0，得tan

x

2

=-

3

，
∴

x

2

=kπ-

π

3

，即x=2kπ-

2π

3

（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
法2：f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
由f（x）=0，得sin（x+

π

3

）=-

3

2

，
可得x+

π

3

=kπ-（-1）^k

π

3

（k∈Z），即x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z）}；
（2）∵b²=ac，且a²+c²≥2ac（当且仅当a=c时取等号），
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

1

2

，
又B为三角形的内角，
∴0＜B≤

π

3

，
由题意得x=B，即x∈（0，

π

3

]，
f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
∵x+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
则此时函数f（x）的值域为[

3

，

3

2

+1]．