Question

已知圆x²＋y²－2x－4y＋m＝0.

(1)此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

解：(1)方程x²＋y²－2x－4y＋m＝0，可化为

(x－1)²＋(y－2)²＝5－m，

∵此方程表示圆，

∴5－m＞0，即m＜5.

(2)

消去x得(4－2y)²＋y²－2×(4－2y)－4y＋m＝0，

化简得5y²－16y＋m＋8＝0.

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则

由OM⊥ON得y₁y₂＋x₁x₂＝0

即y₁y₂＋(4－2y₁)(4－2y₂)＝0，

∴16－8(y₁＋y₂)＋5y₁y₂＝0.

将①②两式代入上式得

16－8×＋5×＝0，

解之得m＝.

(3)由m＝，代入5y²－16y＋m＋8＝0，

化简整理得25y²－80y＋48＝0，解得y₁＝，y₂＝.

∴x₁＝4－2y₁＝－，x₂＝4－2y₂＝.

∴M，N，

∴MN的中点C的坐标为.

又|MN|＝ ＝，

∴所求圆的半径为.

∴所求圆的方程为²＋²＝.