Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点，
(Ⅰ)求证：A₁B∥平面AFC；
(Ⅱ)求证：平面A₁B₁CD⊥平面AFC。

Answer 1

证明：(Ⅰ)连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点， ∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO， 又A1B平面AFC，FO平面AFC， ∴A1B∥平面AFC。  (Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接B1D，则AC⊥BD，AC⊥BB1， ∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥B1D， 同理可得AD1⊥B1D， 直线AF即直线AD1，故AF⊥B1D， 又AC∩AF=A， ∴B1D⊥平面AFC， 而B1D平面A1B1CD， ∴平面A1B1CD⊥平面AFC。