Question

已知函数是定义在上的奇函数,且,若，，则有.

（1）判断的单调性,并加以证明；

（2）解不等式；

（3）若对所有,恒成立,求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）增函数，证明过程见解析，（2），（3）或或。

【解析】

试题分析：（1）根据单调函数的定义，先取值：任取,且,然后根据已知条件结合赋值法得，再根据奇函数的定义得，在上单增。（2）根据（1）中的单调性，去掉，要注意函数的定义域，可得，解该不等式求得的范围。（3）这是一个不等式恒成立问题，结合（1）可知该不等式可转化为对任意恒成立，然后构造函数，，这是关于的一次函数，只需保证即可。

试题解析：（1）证:任取,且,则 由题意

因为为奇函数,所以

所以,即，所以在上单增 4分

（2）由题意得， 所以，故该不等式的解集为 8分

（3）由在上单增,，由题意,,

即对任意恒成立，令,

， 所以或或

综上所述,或或 12分

考点：（1）单调函数的定义、奇函数的定义，（2）利用函数的单调性求范围，（3）构造函数解决一元二次不等式恒成立问题。