Question

22.如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E满足＝，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤≤时，求双曲线离心率e的取值范围.

Answer 1

22.本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质、推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.                             

依题意，记A（－c，0），C，B（x₀，y₀），其中c=｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高.

 

由，即（x₀+c，y₀）=（－x₀，h－y₀）得

 

x₀=，y_0=.                                                                                        

 

设双曲线的方程为－＝1，则离心率e=.

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得

               

由①式得　＝－1，      　　              ③

由③式代入②式，整理得

（4－4）＝1+2，′

故＝1－.                                                      即

依题设≤≤得，≤1－≤.

解得≤e≤.

所以,双曲线的离心率的取值范围为［，］.