Question

已知直线l：y=x+m，m∈R，
(Ⅰ)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(Ⅱ)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x²=4y是否相切？说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)依题意，点P的坐标为(0，m)， 因为MP⊥l，所以， 解得m=2，即点P的坐标为(0，2)， 从而圆的半径， 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8。 (Ⅱ)因为直线l的方程为y=x+m， 所以直线l′的方程为y=-x-m， 由得x2+4x+4m=0，△=42-4×4m-16(1-m)， (1)当m=1，即Δ=0时，直线l′与抛物线C相切； (2)当m≠1，即△≠0，直线l′与抛物线C不相切； 综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l与抛物线C不相切。