Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，an=sin

nπ

4

，则S₂₀₁₀等于

2

2

+1

．

Answer 1

分析：因为数列{a_n}的前n项和为S_n，an=sin

nπ

4

，可得周期T=

2π

1 4 π

=8，求出一个周期的和，再求出S₂₀₁₀；

解答：解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，an=sin

nπ

4

，可得T=

2π

1 4 π

=8，
因为a₁=sin

π

4

=

2

2

；
a₂=sin

π

2

=1，
a₃=sin

3π

4

=

2

2

，
a₄=sinπ=0，
a₅=sin（π+

π

4

）=-

2

2

，
a₆=sin

3π

2

=-1，
a₇=sin

7π

4

=-

2

2

，
a₈=sin2π=0，一个周期为：a₁+a₂+a₃+…+a₈
=

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0=0，
要求S₂₀₁₀因为2010=8×251+2，
∴S₂₀₁₀=251×0+

2

2

+1=

2

2

+1，
故答案为

2

2

+1；

点评：此题主要考查三角函数的周期性，只要求出一个周期的和，就会比较容易，此题是一道中档题；