Question

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，记数列{}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_ntS_n成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，n值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，得到关于首项与公差的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法可求得S_n=，假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比数列，可求得n=，从而得1＜m＜1+＜3，由m∈N^*，可求得m=2，继而可求得n．
解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，因为，即…2
解得…3
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2（n∈N^*）…4
（2）∵==（-）…5
∴数列{}的前n项和
S_n=++…+
=（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）
=（1-）=…7
假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比数列，
则=S₁•S_n…8
即=×…9
∴n=，
因为n＞0，所以-3m²+6m+1＞0，即3m²-6m-1＜0，
因为m＞1，所以1＜m＜1+＜3，
因为m∈N^*，所以m=2…12
∴存在满意的正整数m=2，n=16，且只有一组解，即数m=2，n=16．
点评：本题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，属于难题．