Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_m+a_m+1+…+a_n+1=0（m＜n），则S_m+n等于（　　）

• A．

  1

  2

  (m+n)
• B．m+n
• C．0
• D．1

Answer 1

分析：根据给出的数列是等差数列，由等差中项的概念，结合a_m+a_m+1+…+a_n+1=0可以求得a_m+a_n+1=0，然后由等差数列前n项和公式写出S_m+n，把a₁+a_m+n替换为a_m+a_n+1即可得到结论．

解答：解：因为{a_n}是等差数列，若n+1-（m-1）=n-m+2为偶数，根据等差中项的概念，
则由a_m+a_m+1+…+a_n+1=0，得：

n-m+2

2

(am+an+1)=0，因为

n-m+2

2

≠0，所以a_m+a_n+1=0．
若n+1-（m-1）=n-m+2为奇数，
则由a_m+a_m+1+…+a_n+1=0，得：

n-m+1

2

(am+an+1)+

1

2

(am+an+1)=

n-m+2

2

(am+an+1)=0，
因为

n-m+2

2

≠0，所以a_m+a_n+1=0．
又a₁+a_m+n=a_m+a_n+1，
则Sm+n=

(a1+am+n)n

2

=

(am+an+1)n

2

=0．
故选C．

点评：本题考查了等差数列定义，考查了等差中项的概念，考查了等差数列前n项和，解答此题的关键是运用了：“若m、n、p、q∈N^*，且m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q”．此题是基础题．