Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-

1

2

．∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤

1

2

，∴n≤

1

6

．
从而m＜n≤

1

6

＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴

f(m)=- 1 2 m2+m=3m f(n)=- 1 2 n2+n=3n

，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．