Question

已知数列{a_n}是公差为正的等差数列，其前n和为S_n，点（n，S_n）在抛物线y=

3

2

x2+

1

2

x上；各项都为正数的等比数列{b_n}满足b1b3=

1

16

，b5=

1

32

．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=2a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，S_n=

3

2

n²+

1

2

n，利用等差数列的性质可求得{a_n}的通项公式，由b₁b₃=

1

16

，b₅=

1

32

可求得{b_n}的通项公式；
（2）c_n=2a_n-b_n，利用分组求和的方法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵点（n，S_n）在抛物线y=

3

2

x²+

1

2

x上，
∴S_n=

3

2

n²+

1

2

n，
∴当n=1时，a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

n²+

1

2

n-[

3

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]=3n-1；
当n=1时，也适合上式，
∴a_n=3n-1；
∵{b_n}为各项都为正数的等比数列，且b₁b₃=b22=

1

16

，b₅=b₂•q³=

1

32

，
∴b₂=

1

4

，公比q=

1

2

，
∴b_n=b₂•q^n-2=

1

4

×(

1

2

)n-2=(

1

2

)n．
（2）∵c_n=2a_n-b_n=2（3n-1）-(

1

2

)n，
∴其前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n
=[（6×1-2）+（6×2-2）+…+（6n-2）]-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]
=

(6+6n)×n

2

-2n-

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=3n²+n-1+(

1

2

)n．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，着重考查等差数列与等比数列的分组求和与公式法求和，属于中档题．