Question

已知f（x）=ln（

ex-e-x

2

），则下列正确的是（　　）

• A、非奇非偶函数，在（0，+∞）上为增函数
• B、奇函数，在R上为增函数
• C、非奇非偶函数，在（0，+∞）上为减函数
• D、偶函数，在R上为减函数

Answer 1

分析：根据

ex-e-x

2

＞0求出函数的定义域，判断出函数是非奇非偶函数；再由作差法比较真数的大小，利用定义和对数函数的单调性判断出函数的单调性．

解答：解：要使f（x）有意义，则

ex-e-x

2

＞0，
即e^x-e^-x＞0，解得x＞0，则f（x）为非奇非偶函数．
设g（x）=

ex-e-x

2

，
又∵x₁＞x₂＞0时，ex₁＞ex₂，e-x₂＞e-x₁，
g（x₁）-g（x₂）=

1

2

（ex₁-ex₂）+

1

2

（e-x₂-ex₁）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
即ln（

ex1-e-x1

2

）＞ln（

ex2-e-x2

2

），f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
故选A．

点评：本题考查了对数型复合函数的性质，判断函数奇偶性应先求定义域，即判断定义域是否关于原点对称，对于对数比较大小，一般是先比较真数的大小，再根据对数函数的单调性和单调性的定义判断．