Question

已知函数f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a，若关于x的方程在区间上有解，则a的取值范围是（ ）
A．[-8，0]
B．[-3，5]
C．[-4，5]
D．

Answer 1

【答案】分析：令cosx=t，-1≤t≤1，则 函数f（x）=4t²+4t-3-a=0，由-≤x≤，得-≤t≤1，即求函数a=4t²+4t-3，在[-，1]上的值域，根据函数 a=4t²+4t-3  在[-，1]上是单调增函数，求出a的取值范围．
解答：解：令cosx=t，-1≤t≤1，则 函数f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a=4t²+4t-3-a=0．
∵-≤x≤，∴-≤cosx≤1，即-≤t≤1．故方程4t²+4t-3-a=0 在[-，1]上有解．
即求函数 a=4t²+4t-3  在[-，1]上的值域．又函数 a=4t²+4t-3  在[-，1]上是单调增函数，
∴t=-时，a 有最小值等于-4，t=1时，a 有最大值等于 5，故-4≤a≤5，
故选 C．
点评：本题考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，把问题转化为求函数 a=4t²+4t-3  在[-，1]上的值域，是解题的关键．