Question

如下图所示,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,BC=2,CC₁=4,点E在线段BB₁上,且EB₁=1,D,F,G分别为CC₁,C₁B₁,C₁A₁的中点.求证：

(1)B₁D⊥平面ABD;

(2)平面EGF∥平面ABD.

Answer 1

证明：(1)如图所示,由条件,知BA,BC,BB₁两两互相垂直,以B为坐标原点,BA,BC,BB₁所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系.

由条件知B(0,0,0),D(0,2,2),B₁(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0).

所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2).

·=0,·=0+4-4=0.

所以B₁D⊥BA,B₁D⊥BD.

因此B₁D⊥平面ABD.

(2)由E,F,G的定义,知E(0,0,3),G(,1,4),F(0,1,4).

所以=（,1,1）,=(0,1,1),·=0+2-2=0,·=0+2-2=0.

所以B₁D⊥EG，B₁D⊥EF.

所以B₁D⊥平面EFG.结合(1),可知平面EGF∥平面ABD.