Question

10．在某次随机试验中，事件A发生的概率是sin²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），在3次这样的试验中，A恰好发生一次的概率的最大值为$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率根式解答．

解答 解：由题意事件A发生的概率是sin²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），在3次这样的试验中，A恰好发生一次的概率${C}_{3}^{1}（1-si{n}^{2}α）^{2}si{n}^{2}α$=3cos⁴αsin²α，
设cos²α=x，则3cos⁴αsin²α=3t²（1-t）=-3t³+3t²=f（t），
令f'（t）=-9t²+6t=0，t=0（舍去）t=$\frac{2}{3}$∈（0，1），
所以f（t）的最大值为-3×$（\frac{2}{3}）^{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$；
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率以及三角函数的最值求法．