Question

（本小题满分12分）已知抛物线C:, 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线。

       （1）若抛物线C在点M的法线的斜率为 ，求点M的坐标；

Answer 1

解：⑴函数的导数，点处切线的斜率k₀=．∵过点的法线斜率为，∴（）=，解得，。故点M的坐标为（，）。

       ⑵设M为C上一点，

①若，则C上点M处的切线斜率k=0,过点M的法线方程为，次法线过点P;

②若，则过点M的法线方程为：。若法线过点P，则，即。

若，则，从而，代入得，。

若，与矛盾，若，则无解。

综上，当时，在C上有三点（，），（，）及，在该点的法线通过点P，法线方程分别为，，。

       当时，在C上有一点，在该点的法线通过点P，法线方程为。