Question

已知函数f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²-c-1恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导数，令导数大于等于0恒成立，令导函数的判别式大于等于0，求出b的范围．
（II）据函数在极值点的导数为0，得到x=1是f′（x）=0的一个根，利用韦达定理求出f′（x）=0的另一个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出函数的最大值，令最大值＜c²-c-1恒成立，解不等式求出c的范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0恒成立．
∴△=1-12≤0，解得b≥

1

12

．
∴b 的取值范围为[

1

12

，+∞)．
（Ⅱ）由题意知x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，
设另一根为x₀，则

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

∴

x0=- 2 3 b=-2

即f'（x）=3x²-x-2．在[-1，2]上f（x）、f'（x）的函数值随x 的变化情况如下表：

x	-1	(-1，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1 2 +c	递增	极大值 22 27 +c	递减	极小值- 3 2 +c	递增	2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²-c-1恒成立，
∴2+c＜c²-c-1⇒c²-2c-3＞0⇒c＜-1或c＞3，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞）．

点评：解决函数的单调性已知求参数的范围问题，一般令导函数大于等于0恒成立或小于等于0恒成立；解决不等式恒成立常分离参数转化为求函数的最值．