Question

如图：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D为AB中点．
（1）求证：AB₁⊥A₁C；
（2）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（3）求C₁到平面A₁CD的距离．

Answer 1

分析：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，所以B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，A₁C⊥B₁C₁，由此能够证明AB₁⊥A₁C
（2）连接AC₁交A₁C于O点，连接DO，则O为AC₁的中点，由D为AB中点，知DO∥BC₁，由此能够证明BC₁∥平面A₁CD．
（3）以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出C₁到平面A₁CD的距离．

解答：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，
∴A₁C⊥B₁C₁，
连接AC₁，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C⊥平面AB₁C₁．
所以AB₁⊥A₁C
（2）证明：连接AC₁交A₁C于O点，连接DO，则O为AC₁的中点，
∵D为AB中点，∴DO∥BC₁，
又∵DO?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（3）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D为AB中点．
∴C（0，0，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），
∴D（1，1，0），

CA1

=（2，0，2），

CD

=（1，1，0），

CC1

=(0，0，2)，
设平面A₁CD的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

CA1

=0，

n

•

CD

=0，
∴

2x+2z=0 x+y=0

，解得

n

=（1，-1，-1），
∴C₁到平面A₁CD的距离d=

| CC1 • n |

| n |

=

|-2|

3

=

2

3

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．