Question

已知奇函数f（x）=lg，
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并证明．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函数∴f（x）+f（-x）=0，即=0 解得a=1
故a的值为1
（2）由（1）知f（x）=lg，定义域为（-1，1），
函数f（x）在定义域上单调递减，证明如下：
任取，x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=-=
∵x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂
∴（1-x₁+x₂-x₁x₂）-（1+x₁-x₂-x₁x₂）=2（x₂-x₁）＞0，
所以1-x₁+x₂-x₁x₂＞1+x₁-x₂-x₁x₂，
因为1+x₁-x₂-x₁x₂=（1+x₁）（1-x₂）＞0，
所以，从而，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在定义域（-1，1）上单调递减．
分析：（1）根据奇函数的性质f（x）+f（-x）=0可求得a的值．
（2）先求得函数的定义域，再利用函数单调性的定义判断并证明函数f（x）在定义域上的单调性．
点评：本题考查了函数的单调性，本题需要用定义证明，化简时需要注意应先比较真数与1的大小，才能得到f（x₁）与f（x₂）的大小，计算量大，属中档题．