Question

设F₁，F₂分别为椭圆

x2

3

+y²=1的焦点，点A，B在椭圆上，若

F1A

=5

F2B

；则点A的坐标是

 

．

Answer 1

分析：作出直线F₁A的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得

F1A

=5

B′F1

，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x₁，x₂的方程，解之即可得到点A的坐标．

解答：解：方法1：直线F₁A的反向延长线与椭圆交于点B'
又∵

F1A

=5

F2B

由椭圆的对称性，得

F1A

=5

B′F1

设A（x₁，y₁），B'（x₂，y₂）
由于椭圆

x2

3

+y2=1的a=

3

，b=1，c=

2

∴e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，F₁（

2

，0）．
∵|F1A|=

6

3

|x1+

3 2

2

|
|F1B′|=

6

3

|x2+

3 2

2

|
从而有：

6 3 |x1+ 3 2 2 |=5× 6 3 |x2+ 3 2 2 |

由于-

3

≤x₁，x₂≤

3

，
∴x1+

3 2

2

＞0，x2+

3 2

2

＞0，
即

6

3

(

3 2

2

+x1)=5×

6

3

(x2+

3 2

2

)

3 2

2

+x1=5(x2+

3 2

2

)． ①
又∵三点A，F₁，B′共线，

F1A

=5

B′F1

∴（x1-(-

2

)，y₁-0）=5（-

2

-x₂，0-y₂）
∴

x1+ 2 =5(- 2 -x2)

．②
由①+②得：x₁=0．
代入椭圆的方程得：y₁=±1，
∴点A的坐标为（0，1）或（0，-1）
 方法2：因为F₁，F₂分别为椭圆

x2

3

+y2=1的焦点，则F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，设A，B的坐标分别为A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
若

F1A

=5

F2B

；则

xA+ 2 =5(xB- 2 ) yA=5yB

，所以

xB= xA+6 2 5 yB= yA 5

，
因为A，B在椭圆上，所以

xA2 3 +yA2=1 xB2 3 +yB2=1

，代入解得

xA=0 yA=1

或

xA=0 yA=-1

，
故A（0，±1）．
故答案为：（0，±1）．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、向量共线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．