Question

已知定义域为R，满足：①；
②对任意实数，有.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性与周期性，并求的值；
（Ⅲ）是否存在常数，使得不等式对一切实数成立.如果存在，求出常数的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）.                .
（Ⅱ）.
（Ⅲ）存在常数，使得不等式对一切实数成立，且为满足题设的唯一一组值.      

本试题主要是考查了抽象函数赋值思想的运用。
（1）对于x,y适当的赋值，求解得到f(0),f(3)的值
（2）在条件中令x=0,那么得到函数的周期为4，然后结合定义证明其奇偶性。并求解函数值。
（3）运用函数的周期性和函数与不等式的关系进行求解运算即可。