Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：数列{

an

2n

}是等差数列；
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：数列{

an

2n

}是等差数列；要证明数列{

an

2n

}是等差数列，先根据s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的关系，再用定义证明．
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围，用分离参数法，因为a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n∴5-λ＞

2n2-n-3

an

，只要5-λ＞(

2n2-n-3

an

)的最大值，即可求出λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-2²得a₁=4．S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以

an

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

an-1

2n-1

=

an-1

2n-1

+1-

an-1

2n-1

=1．
又

a1

21

=2，
所以数列{

an

2n

}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

2n

=n+1，即a_n=（n+1）•2ⁿ．
因为a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n等价于5-λ．＞

2n-3

2n

设{bn} =

2n-3

2n

，则b₁=-

1

2

；b₂=

1

4

；b₃=

3

8

；b4=

5

16

…
∴.(bn)max=b3=

3

8

∴λ＜

37

8

．

点评：本题考查了通项公式与前n项和公式的关系，等差数列的定义的应用．恒成立问题主要利用分离参数法转化为求最值问题解决．