Question

已知圆C：x²+y²-6x-4y+4=0，直线l₁被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．
①求直线l₁的方程．
②若直线l₂：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．
③是否存在常数b，使得直线l₂被圆C所截得的弦的中点落在直线l₁上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

①∵圆C的方程化标准方程为：（x-3）²+（y-2）²=9，
∴圆心C（3，2），半径r=3．设直线l₁的斜率为则k，则
k=-

1

kPC

=-

1

1 2

=-2．
∴直线l₁的方程为：y-3=-2（x-5）即2x+y-13=0．
②∵圆的半径r=3，
∴要使直线l₂与圆C相交则须有：

|3+2+b|

2

＜3，
∴|5|＜3

2

于是b的取值范围是：-3

2

-5＜b＜3

2

-5．
③设直线l₂被圆C解得的弦的中点为M（x_°，y_°），则直线l₂与CM垂直，于是有：

y°-2

x°-3

=1，
整理可得：x_°-y_°-1=0．
又∵点M（x_°，y_°）在直线l₂上，
∴x_°+y_°+b=0
∴由

x°-y°-1=0 x°+y°+b=0

解得：

x°= 1-b 2 y°=- 1+b 2

代入直线l₁的方程得：1-b-

1+b

2

-13=0，
∴b=-

25

3

∈（-3

2

-5，3

2

-5），
故存在满足条件的常数b．