Question

（理科）已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer 1

分析：（1）由f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或x2=

t

2

．分类讨论：当t＞0时，f'（x）＞0的解集为(-∞，-t)∪(

t

2

，+∞)；当t＜0时，f'（x）＜0的解集为(

t

2

，-t)，故可求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）由（1）可知，当t＞0时，f（x）在(0，

t

2

)内递减，(

t

2

，+∞)内单调递增．进而分类讨论：当

t

2

≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；当0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2时，f（x）在(0，

t

2

)内递减，在(

t

2

，1)内单调递增．利用零点存在定理可证对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

解答：（1）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或x2=

t

2

．
1°当t＞0时，f'（x）＞0的解集为(-∞，-t)∪(

t

2

，+∞)
∴f（x）的单调增区间为(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)，f（x）的单调减区间为(-t，

t

2

)．
2°当t＜0时，f'（x）＜0的解集为(

t

2

，-t)
∴f（x）的单调增区间为(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)，f（x）的单调减区间为(

t

2

，-t)．
（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在(0，

t

2

)内递减，(

t

2

，+∞)内单调递增．
1°当

t

2

≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3＜0
∴f（x）在（0，1）内有零点．
2°当0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2时，f（x）在(0，

t

2

)内递减，在(

t

2

，1)内单调递增．
若t∈(0，1]，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，f（1）=-6x²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0
∴f（x）在(

t

2

，1)内存在零点．
若t∈(1，2)，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1＜0，f（0）=t-1＞0
∴f（x）在(0，

t

2

)内存在零点．
∴对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调区间，考查函数的零点，正确分类是解题的关键．