Question

等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，试求数列{b_n}的通项公式及数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公比为q，易求得q=2，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意可得关于b₁与d的方程组，解之即可求得数列{b_n}的通项公式；再利用分组求和法即可求得数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）设{a_n}的公比为q，由已知得2q³=16，
解得q=2，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知，a₃=8，a₅=32，则b₃=8，b₅=32，
设数列{b_n}的公差为d，
则有

b1+2d=8 b1+4d=32

，
解得

b1=-16 d=12

，
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28，
∴a_n+b_n=2ⁿ+12n-28，
∴S_n=（2¹+2²+…+2ⁿ）+12（1+2+…+n）-28n
=

2(1-2n)

1-2

+12×

(1+n)n

2

-28n
=2ⁿ⁺¹+6n²-22n-2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列与等差数列的通项公式，突出考查分组求和法与等差数列与等比数列的公式法的综合应用，属于中档题．