Question

已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记P点的轨迹为C₁．

（1）求曲线C₁的方程；

（2）设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C₁的位置关系，并证明你的结论；

（3）已知圆C₂：x²+(y-a)²=2，若C₁，C₂在交点处的切线互相垂直，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）设点P的坐标为(x，y)．则Q的坐标为(x，-2) ∵     ∴ =0 ∴ x2-2y=0    ∴ 点P的轨迹方程为x2=2y． （2）直线PB与曲线C1相切，设点P的坐标为(x0，y0)．∴ 点A的坐标为(x0，0)． ∵ ，∴ =(0，-y0)，∴ 点B的坐标为(0，-y0) ∵ ，直线PB的斜率k=    ∵ =2y0，∴ k=x0 ∴ 直线PB的方程为y=x0x-y0，代入x2=2y，得x2-2x0x+2y0=0． ∵ D=4-8y0=0    ∴ 直线PB与曲线C1相切． （3）不妨设C1，C2的一个交点为N(x1，y1)，C1的解析式即为y=，则C1在N点处切线的斜率为y¢=x1，圆C2过N点的半径的斜率为k=, ∵ C1在交点处的切互相垂直，x1=．  ① 又∵ 点N(x1，y1)在C1上，所以  ②    由①②得y=-a，=-2a ∵ 点N(x1，y1)在圆C2上，∴ -2a+4a2=2 ∵ y1=0，∴ a<0 ∴ a=