Question

【题目】已知四棱锥中，底面，，，，.

（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（2）当直线与平面所成的角为45°时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

(1)根据几何关系得到面，进而得到点面距离；（2）根据线面角得到，所以，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，进而得到二面角的余弦值.

（1）由，，知，则，

由面，面得，由，，面，

则面，则点到平面的距离为一个定值，.

（2）由面，为在平面上的射影，则为直线与平面

所成的角，则，所以.

由，得，故直线、、两两垂直，因此，以点

为坐标原点，以、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间

直角坐标系，易得，，，于是，，

设平面的法向量为，则，即，取，则

，，于是；显然为平面的一个法向量，

于是，

分析知二面角的余弦值为.