Question

已知函数f(x)=sin2x+acosx+

5

8

a-

3

2

，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）如果对于区间[0，

π

2

]上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）结合函数解析式的结构特征对函数进行配方可得f(x)=-(cosx-

1

2

)2+

3

8

，进而得到函数的最大值．
（2）根据函数解析式的特征对函数进行配方可得f(x)=-(cosx-

1

2

a)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，结合函数的定义域进行换元可得二次函数，即可利用二次函数的性质求出函数的最值，进而解决恒成立问题．

解答：解：（1）由题意可得：f(x)=sin2x+cosx-

7

8

=-cos2x+cosx+

1

8

=-(cosx-

1

2

)2+

3

8

．
所以当cosx=

1

2

时，函数f（x）的最大值是

3

8

．
（2）f(x)=-(cosx-

1

2

a)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

．
当0≤x≤

π

2

时，0≤cosx≤1，令t=cosx，则0≤t≤1．
y=-(t-

1

2

a)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，0≤t≤1．
当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，则当t=

a

2

，即cosx=

a

2

时，
f(x)max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

≤1，
解得-4≤a≤

3

2

，
则0≤a≤

3

2

；  
当

a

2

＜0，即a＜0时，则当t=0即cosx=0时，
f(x)max=

5

8

a-

1

2

≤1，
解得a≤

12

5

，
则a＜0．
当

a

2

＞1，即a＞2时，则当t=1即cosx=1时，
f(x)max=a+

5

8

a-

3

2

≤1，
解得a≤

20

13

，无解．
综上可知，a的取值范围(-∞，

3

2

]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，二次函数的对称轴与区间的位置关系可以确定函数的最值．