Question

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+（1-x）=1，f（5x）=2f（x），且当0≤x₁≤x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（

3

4

）等于（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  1

  8

• D、

  1

  16

Answer 1

分析：先求出f（1），然后根据条件求出f（

1

5

）与f（

4

5

），最后根据函数的单调性，以及两边夹的性质可求出所求．

解答：解：令x=0得f（0）+（1-0）=1即f（1）=1
令x=

1

5

代入f（5x）=2f（x）得f（1）=2f（

1

5

）=1
∴f（

1

5

）=

1

2

令x=

1

5

得f（

1

5

）+（1-

1

5

）=1，解得f（

4

5

）=

1

2

∵当0≤x₁≤x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴函数f（x）在[0，1]上单调递增
∵

1

5

＜

3

4

＜

4

5

∴

1

2

=f（

1

5

）≤f（

3

4

）≤f（

4

5

）=

1

2

∴f（

3

4

）=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．