Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点.

(1)求证：AC⊥PB；

(2)求证：PB∥平面AEC;

(3)(理)求二面角EACB的大小.

(文)求二面角EACD的大小.

Answer 1

答案：(1)证明:∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD上的射影.

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，∴AC⊥PB.

(2)证明:连结BD，与AC相交于O，连结OE.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点.

又E是PD的中点,∴OE∥PB.

又PB平面AEC，OE平面AEC,∴PB∥平面AEC.

(3)(理)解法一：过E作EF⊥平面ABCD，垂足为F，∵PA⊥平面ABCD，∴F在AD上，且为AD的中点.连结OF，则OF∥AB.∵AB⊥AC,∴OF⊥AC.∴OE⊥AC.故∠EOF为二面角EACD的平面角.

在Rt△EOF中,EF=PA，OF=AB，∵PA=AB，∴EF=OF.∴∠EOF=.∴二面角EACB为3.

解法二：以A点为坐标原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=a,AB=b(图略).

取BC中点G，连结OG，则=(0,,0),==(0,-,),=(a,0,0).

∵=(a,0,0)·(0,,0)=0, =(a,0,0)·(0,-,)=0，∴OG⊥AC，OE⊥AC.

∴∠EOG是二面角EACB的平面角.

∵cos∠EOG=cos〈〉=，∴∠EOG=.

∴二面角EACB的大小为.

(文)解法一：过E作EF⊥平面ABCD，垂足为F，∵PA⊥平面ABCD，

∴F在AD上，且为AD的中点.连结OF，则OF∥AB.∵AB⊥AC,∴OF⊥AC.∴OE⊥AC.故∠EOF为二面角EACD的平面角.

在Rt△EOF中,EF=PA，OF=AB.∵PA=AB，∴EF=OF.∴∠EOF=.∴二面角EACD的大小为.

解法二：以A点为坐标原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=a,AB=b(图略).

取AD中点F，取AC中点O,连结OF，则=(0,-,0),==(0,-,),=(a,0,0).

∵=(a,0,0)·(0,-,0)=0,=(a,0,0)·(0,-,)=0.∴OE⊥AC，OF⊥AC.

∴∠EOF是二面角EACD的平面角.

∵cos∠EOF=cos〈〉=,∴∠EOF=.∴二面角EACD的大小为.