Question

用一块长为a，宽为b（a＞b）的矩形木板，在二面角为γ的墙角处，围出一个直三棱柱的谷仓，在下面四种设计中，容积最大的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：以长a放在地面，或以b放在底面，利用余弦定理表示底面三角形的边长关系，求出棱柱的体积，求解最大值，推出结果．

解答：解：①对于A、C，如图，
若使矩形木板长边a贴紧地面，即AB=CD=a，AD=BC=b，
设PA=x，PB=y，则a²=x²+y²-2xycosγ≥2xy-2xycosγ．
∴xy≤

a2

2(1-cosγ)

（当且仅当x=y时取等号，即α=β）．这时容积V₁=（

1

2

xy sinγ）•b≤

a2bsinγ

4(1-cosγ)

=

1

4

a²bcot

γ

2

．
②对于B、D，如图
若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤

b2

2(1-cosγ)

．
这时容积V₂=（

1

2

xy sinγ）•a≤

1

4

ab²cot

γ

2

．
∵a＞b＞0，cot

γ

2

＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A．

点评：本题考查三棱柱体积的求法，余弦定理以及基本不等式的应用，是综合性比较高的题目．