Question

16．（实验班做）
（1）解不等式：x+|2x-1|＜3；
（2）设x，y，z∈R，且满足：x²+y²+z²=1，x+2y+3z=$\sqrt{14}$，求x+y+z的值．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的2个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而求得x+y+z的值．

解答 解：（1）由x+|2x-1|＜3，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{x+1-2x＜3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{x+2x-1＜3}\end{array}\right.$②．
解①求得-2＜x＜$\frac{1}{2}$，解②求得$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{4}{3}$，
故原不等式的解集为{x|-2＜x＜$\frac{4}{3}$}．
（2）∵14=（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）=14，
∴$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$，∴z=3x，y=2x，又x+2y+3z=$\sqrt{14}$，∴x=$\frac{1}{\sqrt{14}}$ y=$\frac{2}{\sqrt{14}}$=$\frac{3}{\sqrt{14}}$，
∴x+y+z=$\frac{6}{\sqrt{14}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了二维形式的柯西不等式的应用，属于中档题．