题目内容
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=
，AD=BD：EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（I ）求证：AD丄BF；
（II ）若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值．
| 2 |
（I ）求证：AD丄BF；
（II ）若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值．
（I）∵BC⊥DC，BC=CD=
，
∴BD=
=2，且△BCD是等腰直角三角形，∠CDB=∠CBD=45°
∵平面ABCD中，AB∥DC，∴∠DBA=∠CBD=45°
∵AD=BD，可得∠DBA=∠BAD=45°
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD
∵FD丄底面ABCD，AD?底面ABCD，∴AD⊥DF
∵BD、DF是平面BDF内的相交直线，∴AD⊥平面BDF
∵BF?平面BDF，∴AD丄BF
（II）如图，过点M作MN⊥BE，垂足为N，连接NA，AC
∵AB⊥BC，AB⊥EC，BC∩EC=E，∴AB⊥平面BEC
∵MN?平面BEC，∴AB⊥MN，
结合MN⊥BE且BE∩AB=B，可得MN⊥平面ABEF
∴AN是AM在平面ABEF内的射影，可得∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角
∵Rt△ABC中，AC=
=
，∴Rt△ACM中，AM=
=
．
∵△EMN∽△EBC，∴
=
=
，可得MN=
因此，在Rt△MAN中，sin∠MAN=
=
即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是
．
| 2 |
∴BD=
| BC2+CD2 |
∵平面ABCD中，AB∥DC，∴∠DBA=∠CBD=45°
∵AD=BD，可得∠DBA=∠BAD=45°
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD
∵FD丄底面ABCD，AD?底面ABCD，∴AD⊥DF
∵BD、DF是平面BDF内的相交直线，∴AD⊥平面BDF
∵BF?平面BDF，∴AD丄BF
（II）如图，过点M作MN⊥BE，垂足为N，连接NA，AC
∵AB⊥BC，AB⊥EC，BC∩EC=E，∴AB⊥平面BEC
∵MN?平面BEC，∴AB⊥MN，
结合MN⊥BE且BE∩AB=B，可得MN⊥平面ABEF
∴AN是AM在平面ABEF内的射影，可得∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角
∵Rt△ABC中，AC=
| AB2+BC2 |
| 10 |
| AC2+CM2 |
| 11 |
∵△EMN∽△EBC，∴
| MN |
| BC |
| EN |
| EC |
| MN |
| BC |
| EM |
| EB |
| ||
| 3 |
因此，在Rt△MAN中，sin∠MAN=
| MN |
| AM |
| 33 | ||
|
即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是
| 33 | ||
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练习册系列答案
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