Question

已知函数f（x）=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数y=f（x），x∈[0，

π

2

]的最小值，及取得最小值时的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，即可求得函数的周期；      
（2）根据x∈[0，

π

2

]，确定2x-

π

6

的范围，即可求得函数的值域，从而可求函数的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴T=π．                                                             （6分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴0≤2x≤π
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
∴-

1

2

≤f（x）≤1
∴f（x）_min=-

1

2

，此时2x-

π

6

=-

π

6

∴x=0
∴当x=0时，f（x）_min=-

1

2

．                （12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的性质，解题的关键是正确化简函数，整体思维．