Question

已知函数f（x）=lg[1-a（

1

2

）^x+（

1

4

）^x]
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在x∈（-2，1]上恒有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用换元法，令t=（

1

2

）^x，（t＞0），要将a=1时，函数f（x）的中的真数部分化为二次函数的形式，利用二次函数的图象和性质，可求出真数的值域，进而根据对数函数的单调性，求出函数f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在x∈（-2，1]上恒有意义，则t²-at+1＞0在[

1

2

，4）上恒成立，即a＜t+

1

t

在[

1

2

，4）上恒成立，利用基本不等式求出t+

1

t

在[

1

2

，4）上的最小值，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，
令t=（

1

2

）^x，（t＞0）
则y=f（x）=lg（t²-t+1）=lg[（t-

1

2

）²+

3

4

]≥lg

3

4

所以值域为[lg

3

4

，+∞） …（6分）
（Ⅱ） 当x∈（-2，1]时，t∈[

1

2

，4）
若 f（x）在x∈（-2，1]上恒有意义，
则t²-at+1＞0在[

1

2

，4）上恒成立．
即a＜t+

1

t

在[

1

2

，4）上恒成立
由于t+

1

t

在[

1

2

，4）上的最小值为2
故a＜2┅┅┅┅┅┅（12分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，二次函数的图象和性质，对数函数的定义域，函数恒成立问题，基本不等式的应用，是一个函数问题的综合应用，难度中档．